¿Cómo solicitar custodia compartida de nuestra mascota?

Hace 2 años mi ex pareja y yo cogimos un perro, el chip está a nombre de él, pero él ni siquiera se molestó en ir a ponerle el chip, tuve que ir yo con una autorización suya firmada y una fotocopia de su DNI, además me engano para ponerselo pues accedí porque me dijo «que quería ponerlo a su nombre por tener la responsabilidad de algo ya que el nunca había sido responsable de nada, pero que si algún día pasaba algo el perro era de los 2 o que incluso si yo quería podía llevarmelo y cambiarle el chip a mi nombre», la cartilla está a mi nombre, él nunca se ha ocupado ni de comprarle pienso ni de llevarle al veterinario…

Además el perro es epiléptico y necesita unos cuidados pero económicamente él no se los da, quiero ponerle una demanda, no sé exactamente cómo se llama lo que quiero hacer, pero quiero demandarle porque ahora que nos hemos separado no me quiere dejar ver al perro, y yo no se lo quiero quitar pero sí creo que estaría mejor conmigo; por el bien del animal, yo no le negaría verle cuando quiera, y si esto no es posible, el que el perro pasara a ser mío, quiero exigir una especia de «custodia compartida» ya que por las buenas no está siendo posible, y aunque el microchip está a su nombre creo que tengo posibilidades de ganar por lo expuesto anteriormente, ¿cuánto me costaría poner este tipo de demanda y cómo se llama el tipo de demanda?

Oceane