Impago alquiler por parte personas sin papeles

Me gustaría consultar una duda acerca de cómo abordar la “expulsión” de un inquilino.

Alquilamos una vivienda en Alcala de Henares (Madrid) a una pareja extranjera, ninguno con papeles, con dos niños pequeños. En ello influyó, por qué negarlo, la situación familiar suya, y que sus hijos son de la edad de las nuestras (uno y tres años).

A principios de enero ingresaron sólo una parte del alquiler. Me puse en contacto con la inquilina a finales de enero y me comentó que el marido había ido, que ella no tenía dinero, ni trabajo, y que estaba pendiente de que asuntos sociales en Alcala de Henares la proporcionará una ayuda (pago alquiler, vivienda, etc).

La situación se lleva repitiendo durante el mes de febrero. Ella insiste pero no consigo ni saber si es cierto ni que se solucione el pago del alquiler ni de los gastos derivados (agua, luz, etc).
He leído que la forma adecuada es:

1. hacerle llegar a la inquilina notificación por escrito.
2. Presentar demanda por impago al juzgado de primera instancia.
3. Esperar.

Me gustaría saber:

1. Si estos son los pasos adecuados.
2. Si hay algún formato para la notificación/demanda, etc.
3. Si puede, la inquilina, con esa demanda, agilizar la consecución de las ayudas.
4. Si el realizar contratos a personas sin papeles pudiera ser motivo de que no se pudiera “forzar” a la inquilina a abandonar la vivienda.

Tanto mi mujer como yo estamos dispuestos a hacer un esfuerzo para ayudar a la familia, en el conocimiento de que tiene dos niños pequeños, pero no podemos permitirnos que la familia este en al vivienda sin aportar nada.

Vicente